L’ art de chercher les relations

«It would be the machinic point of a group or a given collectivity; it would indicate, within a group and at a given moment, the maximum of deterritorialization as well as, and at the same time, its power of innovation. This is somewhat abstract at the moment, it’s like algebra

– Deleuze, 26/03/1973

 

«Une des théories mathématiques dont on a besoin dans la partie des sciences philosophiques connue sous le nom des sciences mathématiques (*) c’est l’art de l’algèbre, lequel a pour but la détermination des inconnues, soit numériques, soit géométriques, Il se rencontre dans cette science des problèmes, dépendant de certaines espèces très difficiles de théoremes préliminaires, dans la solution desquels ont échoué la plupart de ceux qui s’en sont occupés. (…)

L’algèbre est un art scientifique. Son objet, ce sont le nombre absolu et les grandeurs mesurables, étant inconnus, mais rapportés à quelque chose de connu de manière à pouvoir être déterminés; cette chose connue est une quantité ou un rapport individuellement déterminé, ainsi qu’on le reconnaît en les examinant attentivement; ce qu’on cherche dans cet art, ce sont les relations qui joignent les données des problèmes à l’inconnue, qui de la manière susdite forme l’objet de l’algèbre. La perfection de cet art consiste dans la connaissance des méthodes mathématiques au moyen desquelles on est en état d’effectuer le susdit genre de détermination des inconnues, soit numériques, soit géométriques.

Par grandeurs mesurables j’entends la quantité continue, dont il y a quatre espèces: la ligne, la surface, le solide et le temps, ainsi qu’on le trouve exposé généralement dans les catégories, et spécialement dans la métaphysique (*). Quelques savants considèrent l’espace comme une subdivision de la surface, subordonnée au genre de la quantité continue; mais un examen exact de cette question prouve contre eux que c’est une erreur. La vérité est que l’espace est une surface dans un état et dans des circonstances dont la détermination exacte est étrangère au sujet qui nous occupe ici. Il n’est pas d’usage d’introduire le temps parmi les objets des problèmes algébriques; mais s’il avait été fait, cela aurait été parfaitement admissible.

It est d’habitude chez les algébristes de nommer dans leur art l’inconnue qu’on se propose de déterminer «chose», et son produit en elle-même «carré», le produit de son carré en la chose «cube», le produit de son carré en lui-même «carré-carré», le produit de son cube en son carré «quadrato-cube», le produit de son cube en lui-même «cubo-cube», et ainsi de suite à une étendue quelconque. Il est connu, par l’ouvrage d’ Euclide sur les Éléments (*), que tous ces degrés sont en proportion continue, c’est-à-dire l’ unité est à la racine comme la racine au carré et comme le carré au cube (*); conséquemment le nombre est aux racines comme les racines aux carrés, comme les carrés aux cubes et comme les cubes aux carré-carrés, et ainsi de suite (**).

Il faut qu’on sache que ce mémoire ne saurait être compris que par ceux qui possèdent une connaissance parfaite des ouvrages d’Euclide sur les Éléments et sur les Données, ainsi que des deux (premiers) livres des Coniques d’ Apollonius.

Pour quiconque serait en défaut relativement à la connaissance d’un de ces trois ouvrages, il n’y a pas moyen de saisir bien exactement les théories que je vais exposer. Déjà je n’ai pas réussi sans peine à me borner, dans les citations à faire dans ce traité, aux trois livres que je viens de nommer.

Les résolutions algébriques ne s’effectuent qu’à l’aide de l’équation, c’est-à-dire en égalant ces degrés les uns aux autres, comme cela est bien connu. Si l’algébriste emploie le carré-carré dans des problèmes de mesure, cela doit s’entendre métaphoriquement et non pas proprement, puisqu’il est absurde que le carré-carré soit au nombre des grandeurs mesurables. Ce qui rentre dans la catégorie des grandeurs mesurables, c’est d’abord une dimension, à savoir la racine, ou, par rapport à son carré, le côté; puis deux dimensions c’est la surface; et le carré (algébrique) fait partie des grandeurs mesurables, étant la surface carrée. Enfin trois dimensions: c’est le solide; et le cube se trouve parmi les grandeurs mesurables, étant le solide terminé par six carrés. Or comme il n’y a pas d’autre dimension, il ne peut rentrer dans la catégorie des grandeurs mesurables ni le carré-carré, ni à plus forte raison les degrés supérieurs (*). Et si l’on dit que le carré-carré fait partie des grandeurs mesurables cela se dit par rapport à sa valeur réciproque employée dans les problèmes de mesure (**), et non pas parce que les quantités carré-carrées elles-mêmes soient mesurables, ce qui constitue une différence. Le carré-carré ne fait donc partie des grandeurs mesurables ni essentiellement ni accidentellement; et on ne peut le comparer au pair et à l’impair qui en font partie accidentellement, par rapport au nombre au moyen duquel la continuité des grandeurs mesurables est représentée comme discontinue.

Ce qu’on trouve dans les ouvrages des algébristes, relativement à ces quatre quantités géométriques, entre les quelles se forment les équations, à savoir nombres absolus, cotés, carrés et cubes, ce sont trois équations renfermant le nombre, des côtés et des carrés(*). Nous allons, au contraire, proposer des méthodes au moyen desquelles on pourra déterminer l’inconnue dans l’équation renfermant les quatre degrés dont nous venons de dire que ce sont eux exclusivement qui peuvent faire partie des grandeurs mesurables, à savoir le nombre, la chose, le carré et le cube.

Les espèces d’équations dont la démonstration (*) dépend des propriétés du cercle, c’est-à-dire des deux ouvrages d’ Euclide sur les Éléments et sur les Données, se démontrent bien facilement. Pour celles qu’on ne peut démontrer qu’à l’aide des propriétés des sections coniques, il faut s’en rapporter à ce qui est contenu dans les deux (premiers) livres des Coniques.

Lorsque l’objet du problème est un nombre absolu (*), ni moi, ni aucun des savants qui se sont occupés d’algèbre, n’avons réussi à trouver la démonstration de ces équations (et peut-être un autre qui nous succédera comblera-t-il cette lacune), que lorsqu’elles renferment seulement les trois premiers degrés, à savoir le nombre, la chose et le carré.

Pour ces espèces, dont la démonstration s’effectue au moyen de l’ouvrage d’ Euclide, j’en indiquerai la démonstration numérique (**). Et sachez que la démonstration géométrique de ces procédés ne rend pas superflue leur démonstration numérique, lorsque l’objet du problème est un nombre, et non pas une grandeur mesurable. (…)

Tant que ces démonstrations (des équations) ne sont pas entendues de cette manière géométrique; tandis qu’ auparavant on ne les avait envisagées que du point de vue purement arithmétique, l’ art de l’ algèbre n’ est pas véritablement scientifique, bien que cette méthode de démonstration exige qu’on aborde quelques difficultés. (…)

On reconnaît cela au moyen de quelques essais successifs, en employant un cas de cette règle facile, que je ne reproduis pas ici, afin de laisser un exercice aux lecteurs
de ce Mémoire. Car celui qui ne serait pas assez fort pour trouver cela lui-même ne comprendrait rien à ce traité, fondé sur les trois ouvrages mentionnés ci-dessus.
Nous démontrons l’ impossibilité des cas impossibles de cette espèce, par l’ inversion de la démonstration que nous avons donnée pour les cas possibles. (…)

Pour quiconque a bien approfondi les théorèmes proposés dans ce traité, et en même temps possède une certaine force naturelle de l’intelligence, ainsi que l’ habitude de s’occuper de problèmes mathématiques, il n’y aura plus, certes, rien d’ obscur dans les problèmes qui offraient de si grandes difficultés aux géomètres des temps précédents. (…)»

 – Omar Khayyám, “Démonstrations de problèmes d’algèbre” (1070), p. 1-7, p. 28, p. 52, p. 81.

  

 

4 catégories de grandeurs mesurables (quantités continues)

Inconnues
soit numériques,
soit géométriques

Degrés
en proportion continue

 

 

Numériques

Géométriques

nombre absolu, unité

X0=1

ligne, racine

côté, chose

X1

1

Espace
(dimensions)

surface

carré

X2

2

solide

cube

X3

3

Temps
(représentée
comme discontinue)

X4 (carré-carré)

4

Temps
(degrés supérieurs)

X5 (quadrato-cube)

5

X6 (cubo-cube)

6

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